汤家凤新文道考研数学辅导老师，大学生数学竞赛指导教师，多年考研数学教学经验。主讲：高等数学、线性代数、概率论与数理统计
第一章极限与连续…………………………………………………………. 1
第一节函数……………………………………………………………… 1
第二节极限………………………………………………………………3
第三节连续与间断……………………………………………………….. 9
重点题型讲解 …………………………………………………………….11
题型一 极限的概念与性质 ……………………………………………. 11
题型二左、右极限……………………………………………………… 12
题型三 不定型极限的计算问题 ………………………………………… 13
题型四 71项和或积的极限计算…………………………………………. 19
题型五 极限存在性问题 ………………………………………………. 21
题型六含参数的极限问题……………………………………………… 23
题型七中值定理法求极限问题…………………………………………. 24
题型八含变积分限的函数极限问题……………………………………… 25
题型九间断点及其分类……………………………………………….. 27
题型十 闭区间上连续函数性质 …………………………………………. 28
第二章 导数与微分 ……………………………………………………….. 29
第一节导数与微分的基本概念…………………………………………… 29
第二节求导公式与法则…………………………………………………. 32
第三节隐函数与参数方程确定的函数的求导……………………………….. 33
重点题型讲解…………………………………………………………… 35
题型一 导数与微分的基本概念 ………………………………………… 35
题型二基本求导类型…………………………………………………. 38
题型三 导数的几何应用 ……………………………………………….. 43
题型四高阶导数………………………………………………………44
第三章一元函数微分学的应用………………………………………………46
第一节中值定理……………………………………………………….. 46
第二节 单调性与极值、凹凸性与拐点、函数作图 ……………………………… 51
重点题型讲解…………………………………………………………… 54
题型一证明/(“)(F)=0 ………………………………………………………………………………………….. 54
题型二待证结论中只有一个中值g,不含其他字母…………………………..56
• 1 •
题型三结论中含&含a,6 ………………………………………………………………………………………. 59
题型四结论中含两个或两个以上中值的问题……………………………… 60
题型五中值定理中关于&的问题……………………………………….. 64
题型六 拉格朗日中值定理的两种惯性思维 ……………………………….. 65
题型七 泰勒公式的常规证明问题 ……………………………………….. 66
题型八二阶导数保号性问题…………………………………………….68
题型九不等式证明…………………………………………………… 70
题型十 函数的零点或方程根的个数问题 …………………………………. 74
题型十一 函数的单调性与极值、渐近线…………………………………….75
第四章不定积分…………………………………………………………. 78
第一节不定积分的概念与基本性质……………………………………….. 78
第二节不定积分基本公式与积分法……………………………………….. 79
第三节两类重要函数的不定积分
——有理函数与三角有理函数（数学三不要求）……………………….. 83
重点题型讲解…………………………………………………………… 84
题型一不定积分的基本概念与性质……………………………………… 84
题型二换元积分法…………………………………………………… 85
题型三分部积分法…………………………………………………… 87
题型四两类特殊函数的不定积分
一 有理函数与三角有理函数的不定积分（数学三不要求）……………. 88
题型五分段函数的积分……………………………………………….. 92
题型六 综合型不定积分（数学三不要求）…………………………………. 92
第五章定积分及其应用…………………………………………………… 94
第一节定积分的概念与基本性质…………………………………………. 94
第二节基本理论……………………………………………………….. 97
第三节 广义积分……………………………………………………… 100
第四节定积分的应用…………………………………………………….104
重点题型讲解…………………………………………………………….107
题型一定积分的概念与性质……………………………………………. 107
题型二变积分限的函数问题……………………………………………. 108
题型三定积分的计算…………………………………………………. 110
题型四定积分的证明…………………………………………………. 114
题型五广义积分……………………………………………………… 122
题型六 定积分的应用…………………………………………………. 123
第六章多元函数微分学…………………………………………………….127
第一节多元函数微分学的基本概念……………………………………….. 127
第二节多元函数基本理论……………………………………………….. 130
• 2 •
第三节 多元函数微分学的应用………………………………………….. 136
第四节多元函数微分学的物理与几何应用（数学二、三不要求）…………………137
重点题型讲解…………………………………………………………….139
题型一多元函数极限、连续、可偏导、可微等基本概念的问题 …………………139
题型二各种偏导数求法……………………………………………….. 140
题型三求偏导的反问题……………………………………………….. 144
题型四 偏导数的代数应用……………………………………………. 145
题型五 多元函数微分学在几何上的应用（数学二、三不要求）…………………147
题型六 场论的概念（数学二、三不要求）…………………………………..149
第七章微分方程…………………………………………………………. 150
第一节微分方程的基本概念……………………………………………… 150
第二节一阶微分方程的种类及解法……………………………………….. 150
第三节可降阶的高阶微分方程（数学三不要求）……………………………. 154
第四节 高阶微分方程………………………………………………….. 154
重点题型讲解…………………………………………………………….157
题型一微分方程的基本概念与性质……………………………………… 157
题型二一阶微分方程的求解……………………………………………. 157
题型三非特定类型微分方程或变换下微分方程的求解……………………… 159
题型四可降阶的高阶微分方程求解（数学三不要求）……………………… 160
题型五高阶线性微分方程求解…………………………………………..161
题型六微分方程的应用……………………………………………….. 162
题型七 欧拉方程求解（数学二、三不要求）……………………………….. 164
第八章重积分…………………………………………………………. 165
第一节二重积分……………………………………………………….. 165
第二节 三重积分（数学二、三不要求）……………………………………… 170
二重积分重点题型讲解…………………………………………………….174
题型一二重积分的概念与性质…………………………………………..174
题型二改变积分次序…………………………………………………. 175
题型三二重积分的计算……………………………………………….. 178
题型四二重积分的综合问题……………………………………………. 184
题型五 二重积分的应用（数学二、三不要求）……………………………… 185
三重积分重点题型讲解…………………………………………………….186
题型一三重积分的计算……………………………………………….. 186
题型二三重积分的应用……………………………………………….. 187
第九章 级数（数学二不要求）……………………………………………… 188
第一节常数项级数……………………………………………………… 188
第二节幕级数……………………………………………………….. 196
• 3 •
第三节傅里叶级数（数学三不要求）……………………………………… 200
重点题型讲解…………………………………………………………… 202
题型一常数项级数的基本性质与敛散性判断……………………………… 202
题型二常数项级数敛散性证明…………………………………………. 205
题型三舉级数的收敛半径与收敛域……………………………………… 207
题型四函数展开成幕级数……………………………………………… 208
题型五 幕级数的和函数………………………………………………. 209
题型六 特殊常数项级数求和…………………………………………….213
题型七傅里叶级数（数学三不要求）…………………………………….214
第十章 向量代数和空间解析几何（数学二、三不要求）…………………………..216
第一节空间解析几何的理论……………………………………………… 216
第二节向量的应用………………………………………………………218
重点题型讲解…………………………………………………………… 222
题型一向量的运算与性质……………………………………………… 222
题型二平面方程……………………………………………………… 223
题型三直线方程……………………………………………………… 224
题型四距离与夹角…………………………………………………… 224
题型五旋转曲面……………………………………………………… 225
第十一章 曲线积分与曲面积分（数学二、三不要求）……………………………. 226
第一节曲线积分……………………………………………………….. 226
第二节 曲面积分……………………………………………………….. 232
第三节场论初步……………………………………………………….. 237
重点题型讲解…………………………………………………………… 238
题型一 对弧长的曲线积分……………………………………………. 238
题型二二维空间对坐标的曲线积分……………………………………… 239
题型三三维空间对坐标的曲线积分……………………………………… 243
题型四对坐标的曲线积分的应用……………………………………….. 244
题型五 对面积的曲面积分……………………………………………… 245
题型六 对坐标的曲面积分……………………………………………… 247
题型七场论初步………………………………………………………249
第十二章 数学的经济应用（数学一、二不要求）……………………………….. 251
第一节 差分方程……………………………………………………….. 251
第二节边际与弹性……………………………………………………… 252
第三节现值与利息………………………………………………………253
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