李永乐全国著名考研数学线性代数辅导专家，清华大学应用数学系，现清华大学数学科学系教授，北京高教学会数学研究会副理事长曾任全国硕士研究生入学考试北京地区数学阅卷组组长。多次参加考研数学大纲修订和全国性数学考试命题工作，并受到教育部领导的接待。李永乐老师编著多部考研数学参考书籍，在考生中享有极高的声誉，连年脱销。李老师对出题形式、考试重点了如指掌，解题思路极其灵活，辅导针对性极强，效果优良，成绩显著，受到广大学员的交口称赞 主编书籍：《考研数学复习全书》《线性代数辅导讲义》《数学全真模拟400题》《数学基础过关660题》《数学最后冲刺135分》
第一篇高等数学
第一章 函数、极限、连续
考点与要求
§ 1 函 数………………………… （3）
内家精讲
一、 定义………………………….. (3)
二、 重要性质、定理、公式……………..(5)
一、 讨论函数的连续与间断………….. (35)
二、 在连续条件下求参数……………. (37)
三、 讨论由极限定义的函数的连续性或间断点
的类型………………………… (37)
第二章一元函数微分学
与要
例题分析§ 1 导数与微分，导数的计算………… (39)
一、 求分段函数的复合函数………….. (6)
二、 关于函数有界(无界)的讨论 ………. (7)
§ 2 极 限………………………… (8)
内家精讲
一、 定义………………………….. (39)
二、 重要性质、定理、公式……………. (40)
内哀精讲例题分析
一、 定义………………………….. (8)
二、 重要性质、定理、公式 ……………..(9)
三、 计算极限的一些有关方法………… (10)
例题分析
一、求函数的极限………………….. (12)
二、 已知极限值求参数或求另一有关的极限…
…………………………………………………………….(20)
三、 含有丨2丨弋+的乂 — 0时的极限，含有取整
函数［z］的z趋于整数时的极限……(25)
四、 无穷小的比较………………….. (26)
五、 数列的极限……………………..(26)
六、 极限运算定理的正确运用………… (30)
§ 3 函数的连续与间断………………. (33)
一、 按定义求一点处的导数………….. (43)
二、 已知在某点工=及)处可导，求与此有
关的某极限或其中某参数，或已知某极限求
/(■z)在x = x0处的导数 ……….(46)
三、 绝对值函数的导数………………. (50)
四、 由极限式表示的函数的可导性……(52)
五、 导数与微分、增量的关系………… (52)
六、 求导数的计算题………………… (53)
§ 2 导数的应用……………………..(55)
内家稱讲
一、 定义………………………….. (55)
二、 重要性质、定理、公式与方法……….(56)
例题分析
内家精讲
一、 定义………………………….. (33)
二、 重要性质、定理、公式……………. (34)
一、 增减性、极值、凹凸性、拐点的讨论…(58)
二、 渐近线………………………… (63)
三、 曲率与曲率圆………………….. (64)
四、 最大值、最小值问题……………..(67)
1
§ 3 中值定理、不等式与零点问题…… （68）
一、 重要定理………………………. （69）
二、 重要方法………………………. （70）
六、 含参变量带绝对值号的定积分……（106）
七、 积分计算杂例………………… （107）
§ 3 反常积分及其计算与判敛……….（109）
内汆精讲
例题分析
一、 不等式的证明………………….. （71）
二、 零点与零点的个数问题………….. （77）
三、 证明存在某F满足某不等式 ………. （82）
四、 利用中值定理求极限、f’S 与/（x）的一些
极限性质的关系………………… （83）
第三章一元函数积分学
一、 定义………………………… （109）
二、 重要性质、定理、公式………….. （110）
一、反常积分的计算与通过计算获知反常积分
的敛散性……………………..（111）
二、反常积分收敛、发散的判别………. （115）
§ 4 定积分的应用………………… （120）
内宕精讲
§ 1 不定积分与定积分的概念、性质、理论……
……………………………………………………………….. （85）
一、 基本方法 ……………………..（120）
二、 重要几何公式与物理应用……….（120）
例题分析
一、 定义………………………….. （85）
二、 重要性质、定理、公式……………..（86）
例题分析
一、 几何应用……………………..（122）
二、 物理应用……………………. （125）
§ 5 定积分的证明题……………. ••• （130）
一、 分段函数的不定积分与定积分…… （87）
二、 定积分与原函数的存在性………… （90）
三、 奇、偶函数，周期函数的原函数及变限积分
……………………………………………………………….. （90）
§ 2 不定积分与定积分的计算………… （94）
内家端•讲
一、 基本积分公式………………….. （94）
二、 基本积分方法………………….. （94）
一、讨论变限积分所定义的函数的奇偶性、周期
性、极值、单调性等 ……………. （130）
二、 由积分定义的函数求极限……….（132）
三、 积分不等式的证明……………. （132）
四、 零点问题……………………..（138）
第四章 向量代数与空间解析几何
例題分析
考点与要求(141)
一、 简单有理分式的积分……………..（96）
二、 三角函数的有理分式的积分……….（98）
三、 简单无理式的积分………………. （98）
§ 1 向量代数……………………..（141）
内家精讲
四、 一般可用分部积分法处理的几种题型……
………………………………………………………….（100）
五、 对称区间上的定积分，周期函数的定积分
……………………………………………………………. （104）
一、 与向量有关的基本概念………… （141）
二、 向量的运算及性质……………. （142）
例題分析
一、向量的运算
(143)
(143)
2 •
二、向量运算的应用及向量的位置关系……
…………………………………………………………….（145）
二、讨论二元函数的连续性、偏导数存在性…
…………………………………………………………. （166）
§ 2 平面与直线 ………………….. （146）
内家精讲
三、讨论二元函数的可微性 ………… （167）
§ 2 多元函数的微分法……………. （171）
一、 平面方程……………………..（146）
二、 直线方程……………………..（146）
三、 平面与直线间的位置关系 ………. （147）
内彖精讲
一、 复合函数的偏导数与全微分……（171）
二、 隐函数的偏导数与全微分……….（172）
(148) (173)
一、 建立平面方程………………… （148）
二、 建立直线方程………………… （149）
三、与平面和直线的位置关系有关的问题……
…………………………………………………………….（151）
一、 求复合函数的偏导数与全微分……（173）
二、 求隐函数的偏导数与全微分…… （182）
§ 3 极值与最值………………….. （187）
内容精讲
§ 3 空间曲面与曲线………………. （154）
内家精讲
一、 无条件极值………………….. （187）
二、 条件极值……………………..（188）
一、 旋转面及其方程………………. （154）
二、 柱面及其方程………………… （154）
三、 常见的二次曲面及图形………… （155）
四、 空间曲线及其方程 ……………..（156）
五、 空间曲线的投影 ………………. （156）
(157)
(188)
一、 无条件极值问题……………….（188）
二、 条件极值（最值）问题 ………….. （192）
三、 多元函数的最大（小）值问题…… （193）
§4 方向导数与梯度 多元微分在几何上的应
用 泰勒定理………………… （197）
一、 建立柱面方程………………… （157）
二、 建立旋转面方程………………. （158）
三、 建立空间曲线的投影曲线方程 ……（159）
第五章 多元函数微分学
考点与要求
§ 1 多元函数的极限、连续、偏导数与全微分（概
(197)
一、 方向导数……………………..（197）
二、 梯度………………………… （198）
三、 曲面的切平面与法线………….. （199）
四、 曲线的切线和法平面………….. （199）
五、 泰勒定理……………………..（199）
念)………………………… (161) (200)
(161)
一、 多元函数……………………..（161）
二、 二元函数的极限与连续………… （161）
三、 二元函数的偏导数与全微分…… （162）
一、 有关方向导数与梯度………….. （200）
二、 有关曲面的切平面和曲线的切线…（203）
三、 泰勒定理……………………..（205）
第六章 多元函数积分学
(164) 考点与要求
一、讨论二重极限………………… （164） § 1 重积分………………………. （206）
内彖精讲(258)
一、 二重积分……………………..（206）
二、 三重积分……………………..（209）
(211)
一、梯度
二、通量
三、散度
(258)
(258)
(259)
一、 计算二重积分 ………………… （211）
二、 累次积分交换次序及计算………. （220）
三、 与二重积分有关的综合题………. （223）
四、 与二重积分有关的积分不等式问题……
…………………………………………………………. （226）
五、 计算三重积分………………… （229）
六、 三重积分的累次积分………….. （232）
§ 2 曲线积分 ……………………..（233）
四、旋度 (259)
二、求物理量(263)
一、 对弧长的线积分（第一类线积分）……
……………………………………………………………. （233）
二、 对坐标的线积分（第二类线积分）……
……………………………………………………………. （234）
第七章 无穷级数
§ 1 常数项级数…………………… （267）
内家精讲
例题分析(236)
一、 对弧长的线积分（第一类线积分）……
……………………………………………………………. （236）
二、 对坐标的线积分（第二类线积分） ……
……………………………………………………………. （239）
§ 3 曲面积分……………………..（248）
一、 级数的概念与性质……………. （267）
二、 级数的判敛准则………………. （268）
例題分析
一、 正项级数敛散性的判定………… （269）
二、 交错级数敛散性的判定………… （273）
三、 任意项级数敛散性判定………… （275）
四、有关常数项级数的证明题与综合题……
一、 对面积的面积分（第一类面积分）……
……………………………………………………………. （248）
二、 对坐标的面积分（第二类面积分）……
……………………………………………………………. （249）
例题分妬皿——
一、 对面积的面积分（第一类面积分）……
……………………………………………………………. （250）
二、 对坐标的面积分（第二类面积分） ……
……………………………………………………………. （253）
§ 4 场论初步………………………（258）
…………………………………………………………. (280)
§ 2 幕级数………………………. （286）
内哀精讲|
一、 函数项级数及收敛域与和函数……（286）
二、 幕级数的收敛半径，收敛区间及收敛域 …
（286）
三、 無级数的性质 ………………… （287）
四、 函数的幕级数展开……………. （287）
例题分析
一、求無级数的收敛域……………. （288）
4 •
(305)
二、 将函数展开为無级数………….. （291）
三、 级数求和……………………..（294）
§ 3 傅里叶级数………………….. （300）
第八章 常微分方程
§ 1 常微分方程………………….. （305）
内家精讲
内家精讲
一、 三角函数及其正交性………….. （300）
二、 傅里叶级数 ………………….. （300）
三、 收敛性定理………………….. （300）
四、 周期为2兀的函数的傅里叶展开……（300）
五、 周期为2/的函数的傅里叶展开……（301）
例题分析
一、 有关收敛定理的问题 ………….. （302）
二、 将函数展开为傅里叶级数………. （303）
一、 微分方程的基本概念………….. （305）
二、 常见的几类一阶方程及解法…… （305）
三、 可降阶的高阶微分方程………… （307）
四、 高阶线性方程………………… （307）
例題分析
一、 微分方程求解………………… （309）
二、 微分方程的综合题 ……………. （315）
三、 微分方程的应用……………….（318）
第二篇线性代数
第一章 行列式
二、抽象型行列式的计算(332)
三、行列式丨A |是否为零的判定(334)
四、关于代数余子式求和(335)
第二章 矩 阵
(337)
(337)
§ 1 矩阵的概念及运算(337)
一、矩阵的概念(337)
一、 伴随矩阵、可逆矩阵的概念……….（340）
二、 伴随矩阵重要公式……………. （340）
三、 ”阶矩阵A可逆的充分必要条件 …（340）
四、 逆矩阵的运算性质……………. （340）
五、 求逆矩阵的方法………………. （341）
§ 3 初等变换、初等矩阵……………. （341）
一、 定义………………………… （341）
二、 初等矩阵与初等变换的性质…… （342）
§ 4 矩阵的秩 ……………………..（342）
一、 矩阵秩的概念………………… （342）
二、 矩阵秩的公式………………… （342）
§ 5 分块矩阵 ……………………..（343）
一、 分块矩阵的概念 ………………. （343）
二、 分块矩阵的运算 ………………. （343）
二、矩阵的运算(338) 例题分析
三、矩阵的运算规则(339)
四、特殊矩阵(339)
§ 2 伴随矩阵、可逆矩阵(340)
一、 矩阵的概念及运算……………. （344）
二、 特殊方阵的幕 ………………… （347）
三、 伴随矩阵的相关问题………….. （349）
四、 可逆矩阵的相关问题………….. （352）
五、 初等变换、初等矩阵……………..（355）
六、 矩阵方程……………………..（357）
七、 矩阵的秩 ……………………..（359）
第三章 向 量
§ 1 “维向量的概念与运算………….. （362）
§ 2 线性表出、线性相关……………..（363）
一、 线性表出的概念 ………………. （363）
二、 线性相关、线性无关的概念………. （363）
三、 线性表出、线性相关的重要定理……（363）
§ 3 极大线性无关组、秩……………..（364）
一、 极大线性无关组、向量组秩的概念……
……………………………………………………………. （364）
二、 有关秩的定理………………… （364）
§ 4 Schmidt正交化、正交矩阵 ………. （365）
—、Schmidt正交化（正交规范化方法）……
……………………………………………………………. （365）
二、正交矩阵……………………..（365）
§ 5 向量空间……………………..（365）
一、 向量空间的概念………………. （365）
二、 主要定理……………………..（366）
(367)
一、 线性相关性判别………………. （367）
二、 向量的线性表示、向量组等价…… （369）
三、 线性相关与线性无关的证明…… （372）
四、 秩与极大线性无关组………….. （376）
五、 正交化、正交矩阵………………. （379）
六、 向量空间……………………..（380）
第四章 线性方程组
(383)
(383)
§ 1 克拉默法则…………………… （383）
§ 2 齐次线性方程组………………. （384）
§ 3 非齐次线性方程组……………. （385）
(386)
一、 线性方程组的基本知识………… （386）
二、 Ar = 0,基础解系……………. （389）
三、 解方程组Ax = b ……………………… （395）
四、 两个方程组的公共解………….. （400）
五、 同解方程组………………….. （402）
六、 方程组的应用………………… （403）
第五章 特征值、特征向量、相似矩阵
(406)
§ 1 特征值、特征向量………………. （406）
一、 特征值，特征向量………………. （406）
二、 特征方程、特征多项式、特征矩阵 …（406）
三、 特征值的性质 ………………… （406）
四、 求特征值、特征向量的方法………. （407）
§ 2 相似矩阵、矩阵的相似对角化…… （407）
一、相似矩阵……………………..（407）
二、 矩阵可相似对角化的充分必要条件……
……………………………………………………………. （407）
三、 相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件…
……………………………………………………………. （408）
§ 3 实对称矩阵的相似对角化………. （408）
一、实对称阵……………………..（408）
二、 实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化
……………………………………………………………. （408）
三、 实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤
……………………………………………………………. （408）
例题分析(409)
一、 特征值，特征向量的求法………… （409）
二、 两个矩阵有相同的特征值的证明 …（414）
三、 关于特征向量 ………………… （415）
四、 矩阵是否相似于对角阵的判别……（415）
6・
五、利用特征值、特征向量及相似矩阵确定参数
…………………………………………………………….（418）
§ 2 化二次型为标准形、规范形 合同二次型
……………………………………………………………. （430）
六、 由特征值、特征向量反求A …… （419）
七、 矩阵相似及相似标准形………… （420）
八、 相似对角阵的应用……………. （425）
第六章 二次型
一、 二次型的标准形，规范形………… （430）
二、 化二次型为标准形，规范形……….（430）
三、 合同矩阵，合同二次型………….. （431）
§ 3 正定二次型、正定矩阵………….. （432）
§ 1 二次型的概念、矩阵表示………… （429）
一、 二次型概念………………….. （429）
二、 二次型的矩阵表示……………. （429）
例题分析
一、 二次型的矩阵表示……………. （432）
二、 化二次型为标准形……………. （434）
三、 合同矩阵、合同二次型………….. （438）
四、 正定性的判别与证明………….. （440）
五、 二次型的应用………………… （444）
第三篇概率论与数理统计
第一章 随机事件和概率
考A与要求
§ 1 事件、样本空间、事件间的关系与运算……
…………………………………………………………….（449）
第三章 多维随机变量及其分布
考点与要求(476)
第二章 随机变量及其概率分布§ 1 二维随机变量及其分布………….（476）
考点与要求(463) 内彖箱讲(476)
§ 1 随机变量及其分布函数 …………. （463）
内彖箱讲(463)
列 r》川 1111 (478)
§ 2 随机变量的独立性(483)
7 •
内汆荊讲I (483) 第六章 数理统计的基本概念
例题分析(484) 考点与要求(521)
§ 3 二维均匀分布和二维正态分布(490)
內汆精讲I (490)
§ 1 总体、样本、统计量和样本数字特征……
……………………………………………………………. (521)
例题分析(491)
§ 4 两个随机变量函数Z=g(X,Y)的分布
(494)
(521)
(522)
(494)
(495)
(500)
§ 1 随机变量的数学期望和方差(500)
§ 2 常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布
(524)
(526)
(531)
§ 1点估计
内哀精讲(500)
内彖精讲
例题分析(502)
(524)
(531)
(531)
§2 矩、协方差和相关系数(510)
例題分析(531)
内彖精讲I (510)
例题分析(511)
第五章 大数定律和中心极限定理
(518)
(518)
(519)
§2 估计量的求法和区间估计……….(536)
(536)
(538)
(545)
(545)
(546)
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